무차별 가격(Indifference Price)

 

Indifference Price(무차별 가격)는 금융이나 경제학에서 사용되는 개념으로,

특정 투자자의 입장에서, 리스크를 감수하지 않든 리스크를 감수하든 상관없이 동일한 효용(utility)을 제공하는 가격을 의미합니다.

 

오늘은 무차별 가격의 정의와, 현실 세계에서의 무차별 가격 예시 두 가지로 자세히 무차별 가격의 계산 방법에 대해 알아보겠습니다.

 

 

무차별 가격의 정의

무차별 가격은, 투자자가 어떤 리스크를 가진 자산(예: 주식옵션)을 포트폴리오에 포함할지 말지를 결정할 때, 해당 자산을 보유함으로써 얻는 효용과 그 자산을 보유하지 않을 때의 효용이 동일하도록 하는 가격이 바로 무차별 가격입니다.

즉, 어떤 자산의 가격이 A일 때, 이 자산을 샀을 때랑 사지 않았을 때 얻을 것으로 기대되는 효용(utility)이 정확히 동일하다면, 이 가격 A를 무차별 가격이라고 할 수 있습니다.

 

여기서 효용(utility)은 다음과 같은 의미를 가집니다.

• 투자자는 동일 리스크에 대해 각기 다른 효용을 가지고 있습니다. 이 '효용'는 투자자의 만족도나 선호도를 나타내며, 자산의 기대 수익과 리스크에 의해 결정됩니다.
• 즉, 수익이 높을수록 효용은 높고, 리스크가 높을수록 효용은 낮아집니다.

 

두 가지 예시를 들어서 이를 자세히 설명해 보겠습니다.

 

 

예시1 : 보험 계약의 무차별 가격

상황:

• 보험 가입 예정자 A(이하 A)는 차를 소유하고 있으며, 이 차가 사고를 당할 가능성이 있다고 가정합니다.
• 차가 사고를 당할 경우, 수리비가 $10,000이 든다고 가정합니다.
• 사고가 발생할 확률은 1%입니다.
• A는 위험을 싫어하는 성향(위험 회피 성향)을 가지고 있으며, 손실을 피하기 위해 보험을 고려하고 있습니다.

문제:

• A가 지불할 의사가 있는 보험료의 최대값, 즉 무차별 가격은 얼마일까요?

계산:

1. 기대 손실 계산:
   • 사고가 발생할 확률이 1%, 발생했을 경우 수리비 $10,000이므로, 기대 손실: 0.01×10,000=$100
2. 보험 없이:
   • 보험이 없을 때, A은 사고가 발생하면 $10,000의 손실을 감수해야 합니다.
   • 따라서, 보험 없이 예상되는 비용은 $100 (기대 손실)입니다.
3. 보험을 고려할 때:
   • 보험을 구매하면, 보험료를 지불하게 되고, 사고가 발생할 때 수리비 $10,000를 보험사가 대신 지불해줍니다.
   • 이때 지불할 용의가 있는 보험료의 최대값이 무차별 가격입니다.
4. 무차별 가격 결정:
   • 수학적으론 $100 이상의 가격을 지불하면 보험을 구매하는 쪽이 더 불리합니다.
   • 하지만 A가 위험 회피 성향이 높다면, 큰 손실을 피하기 위해 $100 이상 보험료를 지불할 의향이 있을 수 있습니다.
   • A가 보험 가입을 위해 최대 $200를 지불할 용의가 있다면, 이는 A의 위험 회피 성향이 상당히 높음을 의미합니다.
   • 이때 무차별 가격은 $200이 됩니다. 이 가격에서 A는 보험을 구매하든 하지 않든 동일한 효용을 느끼기 때문입니다.
   • 즉, 단순 수학적인 계산 뿐 아니라 투자자의 리스크 회피 성향을 반영해야 무차별 가격을 계산할 수 있습니다.

 

 

이번엔 주식 시장에 대해서 예시를 하나 더 들어볼까요?

예시2: 주식과 보호 풋 옵션의 무차별 가격

상황:

• A는 ABC 주식 100주를 보유하고 있습니다. 현재 주가가 50달러입니다.
• A는 주가가 떨어질까 봐 걱정되지만, 주가가 오를 가능성도 있다고 생각합니다.
• 주가 하락시의 손실을 피하고 싶어, 주가를 헷징할 수 있는 풋 옵션을 구매하려고 합니다.

문제:

• A가 이 풋 옵션에 대해 지불할 의사가 있는 최대 금액(무차별 가격)은 얼마일까요?

설명:

1. 주식의 미래 시나리오:
   • A는 주가가 앞으로 오르거나 내릴 수 있다고 생각합니다.
   • 예를 들어, 주가가 60달러로 오를 확률이 50%, 40달러로 떨어질 확률이 50%라고 예상합니다.
2. 풋 옵션 없이 주식을 보유한 경우:
   • 주가가 60달러로 오르면 100주 × 60달러 = 6,000달러의 가치가 됩니다.
   • 주가가 40달러로 떨어지면 100주 × 40달러 = 4,000달러의 가치가 됩니다.
   • 주가가 떨어질 경우 당신은 2,000달러의 손실을 보게 됩니다.
3. 풋 옵션을 구매한 경우:
   • A는 주가가 40달러로 떨어지더라도 50달러에 주식을 팔 수 있는 풋옵션을 매수할 수 있습니다.
   • 이 경우 주가가 떨어지더라도 주식을 50달러에 팔아 손실을 피할 수 있습니다.
   • 따라서, A는 주가가 오르든 내리든 손실 없이 이익을 볼 수 있습니다.
4. 무차별 가격 결정:
   • 이 풋 옵션을 통해 손실을 피할 수 있기에, A는 이 풋옵션 매수를 고려합니다.
   • A는 2,000달러의 손실을 피하고 싶어서 최대 2,000달러를 이 옵션에 지불할 의사가 있다고 생각할 수 있습니다.
   • 이 2,000달러가 바로 A의 무차별 가격입니다. 이 가격에서, A는 주가가 하락할 리스크를 감수하지 않고도 동일한 수준의 심리적 리스크 감소 효과를 가질 수 있기 때문입니다.

 

결론

무차별 가격은 투자자가 투자의 리스크(손실)를 감수하지 않고, 이 리스크를 피하기 위해 지불할 의사가 있는 최대 금액입니다.

예시2에서 만약 투자자가 자신의 무차별가격 아래로 풋옵션을 구매할 수 있다면, 투자자는 무조건 풋옵션을 매수할 것이고, 이 가격 이상이라면 옵션 매수 없이 리스크를 감수할 것입니다.

 

즉, 무차별 가격은는 투자자가 특정 리스크를 가진 자산에 대해, 리스크를 감수하든 하지 않든 동일한 효용을 제공하는 가격입니다.

 

보험 예시로 보면 쉬워보이지만, 주식 예시로 다시 보면 또 어려워 보이네요. 투자자 각자의 심리/투자상황에 따라 무차별가격은 달라지고, 이 때문에 주식 시장에서 거래가 활발하게 일어나게 되는 것 같습니다.

 

그럼 성투하세요!