켈리공식과 적정 투자비율

 

 

켈리공식의 의미

켈리공식은 주식 투자를 할 때 한번에 얼마만큼의 자본을 투자해야 최고의 수익을 낼 수 있을지에 대한 공식입니다.

 

예를 들어, 친구가 투자 종목을 추천해 주면서 이 종목이 2~3년 후에 20%의 확률로 주가가 10배가 될 거야~ 근데 한 80%의 확률로 반토막이 날거야~ 라고 한다면, 얼마를 투자해야 할까요? 게다가, 이런 기회를 매달 한번씩 평생 알려준다고 합니다!

10배라니, 분명 가진돈을 전부 쏟아부어야할 정도로 좋은 기회같은데, 80%의 반토막 확률이 무섭기도 합니다. 매달 알려준다면 다음달, 다다음달에도 투자를 해야하니 한번에 몰빵을 할 필요가 없을거같기도 합니다.

 

이런 고민은 투자자 외에도 도박꾼들을 포함한 수많은 사람들이 해왔습니다.

그렇게 하여 탄생한 것이 1956년 John L. Kelly가 만든 켈리공식입니다. 이 공식을 적용한다면, 친구가 알려준 투자 정보를 활용해 최적의 투자 비중을 계산할 수 있습니다.

John L. Kelly Jr.

 

켈리공식 수식과 해석 방법

이 포스팅을 보기 전에 켈리공식을 찾으려 다른 블로그도 들어가보셨나요? 희한한게, 블로그마다 공식이 조금씩 다릅니다. 예를 들어 아래 두 포스팅을 가져와봤는데요,

왼쪽 포스팅에선

$$ \textnormal{투자할 자본 비중}  =  \frac{\textnormal{기대 순이익}}{\textnormal{이길 경우의 수익}} $$

으로 계산했고, 

오른쪽 포스팅에선

$$ \textnormal{투자할 자본 비중} = \textnormal{승리 확률} - \frac{\textnormal{패배 확률}}{\frac{\textnormal{기대 수익}}{\textnormal{가능 손실}}} $$

으로 표현합니다. 

 

여러 포스팅을 보면서 점점 헤깔리셨죠? 정답은, 둘 다 맞다 입니다. 네, 수식을 조금 옮겨보면, 왼쪽 오른쪽 두 수식은 사실 동일한 식입니다. 수학 공부도 할 겸 계산해보시면 쉽게 두 수식이 동일하다는걸 확인할 수 있습니다.

 

제 경우엔 그래도 오른쪽 수식이 좀 더 보기 편하네요.

따라서 결론적으로 수식을 알려드리면,

$$ \textnormal{투자할 자본 비중} = \textnormal{승리 확률} - \frac{\textnormal{패배 확률}}{\frac{\textnormal{기대 수익}}{\textnormal{가능 손실}}} $$

이 수식이 켈리 공식이라고 보면 됩니다.

 

앞서 친구가 알려준 20%확률로 10배가 된다는 투자공식에 한번 대입해볼까요?

친구가 알려준 정보에 기반하면, 승리 확률은 20%, 패배 확률은 80%, 기대수익은 900%(원금은 제외하고 순수 수익만 생각합니다), 가능손실은 50%입니다.

이제 투자할 자본 비중을 계산해보면, 약 15.55%가 나옵니다. 즉, 이런 제안이 들어오면 내가 가진 돈의 15.55%만 투자하라는 의미죠(매달 알려준다고 하니, 매달 내 보유 자본의 15.55%씩 투자하면 되겠네요).

 

간단하죠?

 

이제 켈리 공식이 무엇인지 수식을 봤으니, 이 공식이 어떻게 활용되는지, 장단점은 무엇인지 살펴보겠습니다. 이 부분이 매우 중요하니까, 장단점까지는 꼭 보고 가세요!

 

켈리공식 장단점

먼저, 간단히 장점부터 말씀드리자면,

1. 공식이 아주 간단합니다. 게다가 해석도 쉽습니다.
2. 꽤 보수적입니다. 공식을 보시면, 투자할 자본 비중은 언제나 승리 확률보다 작습니다. 따라서, 승리 확률이 매우 낮아지면(ex: 복권) 아무리 기대수익이 높아도 투자 비중이 0에 가까워지죠

반면, 단점도 있습니다.

1. 승리 확률, 기대 수익과 같은 변수의 값을 정확히 알아야만 정확한 켈리 공식을 구할 수 있습니다. 이건 켈리 공식이 주식 투자가 아닌 도박에서 최적 베팅을 구하기 위해 만들어진 수식이기 때문인데요, 포커나 블랙잭 등은 내 패를 기반으로 정확한 승리 확률, 기대 수익을 구할 수 있기 떄문에 정확히 베팅을 진행할 수 있습니다.
   반면, 주식은 이러한 수치를 정확히 알 수 없기 때문에, 켈리 공식을 계산할 때 크고 작은 오차가 발생하게 됩니다.
2. 동일한 확률, 수익을 가진 구조가 무한히 반복돼야합니다. 켈리 공식은 동일한 게임이 무한히 반복될 때 가장 높은 수익이 나도록계산됩니다(수익률은 기하평균이기 때문. 따로 설명은 하지 않겠습니다). 따라서, 적은 횟수의 게임에선 그 정확도가 많이 떨어집니다.

 

결론

쓰다 보니 뭔가 단점만 길게 쓴 것 같은데, 그렇다고 좋지 않은 수식이란 의미는 아닙니다. 워렌 버핏, 빌 그로스와 같은 유명 투자자들 역시 켈리공식을 참고해 투자 비중을 결정한다고 합니다. 승리 확률과 같은 변수만 제대로 구한다면 확실한 투자 비중 계산법이기 때문인데요, 워렌 버핏같은 투자자도 정확히 투자 비중을 이렇게 하자! 라고 하는게 아니라, 대략 어느 정도 비중만큼 투자하자 정도의 보조 용도로 사용한다고 합니다. 

 

투자 구루들도 정확한 값을 구하지 못하는 만큼 계산하기 어려움이 많은 지표이지만, 제대로 사용하기만 한다면 손실 상황에서도 효과적으로 대응해 손실을 만회하고 높은 수익을 낼 수 있도록 도와줄겁니다.

 

그럼 성투하세요!