Black-Litterman Model (블랙리터만 모델)

  Black-Litterman Model은 1990년 골드만삭스에서 Black과 Litterman이 Markowitz의 Mean-Variance 최적화 모형의 한계를 극복하기 위해 만든 수학적 모형이다.

 

 

기존 Markowitz 모형(MVO)의 한계

  먼저 Markowitz Mean-Variance(마코위츠 평균분산 모형, MVO)이 가지는 한계로, 실제 투자시 마코위츠 모형을 적용할 경우 코너해가 발생하는 현상, 즉, 일부 자산에 대한 투자 비중이 매우 커져 분산 투자 효과가 적어지는 현상이 나타나기도 한다. 이 현상을 코너해(Corner Solution)라고 부르며, 이 코너해 때문에 실제 투자시에 평균분산 모형을 사용하면 포트폴리오의 편향 현상이 일어날 수 있다.

  코너해 문제를 해결하기 위해 1990년 골드만삭스에서 만든 최적포트폴리오 도출 방법이 Black-Litterman Model이다.

 

Black-Litterman Model 계산

  Black-Litterman 모형은 위에서 본 코너해 문제를 극복하기 위해 개발된 모형이다. 이 모델에서 기대수익률은 시장에 내재된 균형기대수익률과 투자자 전망을 결합하여 계산된다. 

 

  균형기대수익률( $\Pi$ )과 투자자 전망( $PE(r)$ )은 각각 아래와 같이 구할 수 있다.

 

$\Pi = \lambda \Sigma w_{mkt}$

$ PE(r) = q + \epsilon,  \epsilon ~ N(0, \Omega)$

 

$n$ : 자산의 수

$\lambda$ : 위험회피계수(상수)

$\Sigma$ : 각 자산별 과거수익률의 공분산 행렬($n \times n$)

$w_{mkt}$ : 각 자산의 시가총액 비중 벡터($n \times 1$)

$P$ : 각 자산에 대한 투자자 전망($k \times n$, $k$ : 전망 수)

$E(r)$ : 기대수익률($n \times 1$)

$q$ : 각 전망에 대한 기대수익률($k \times 1$)

$\Omega$ : 투자 전망 오차항의 공분산($k \times k$)

 

  다음과 같이 구한 균형기대수익률과 투자자 전망은 Bayesian Approach를 통해 결합하게 된다. 이 Bayesian적 접근 방법을 통해 기대수익률을 확정된 수치가 아닌 확률변수로서 취급할 수 있게 된다.

 

  최종적으로 Black-Litterman 모형의 최적화 조건식은 다음과 같다.

 

$Maximize\space \Sigma^n_{i=1}\mu_{BL_i}w_i - \cfrac{\lambda}{2}\Sigma^n_{i=1}\Sigma^n_{j=1}\sigma_{ij}w_iw_j$

$Subject\space to\space \Sigma^n_{i=1}w_i=1,\space  w_i \geq0, i = 1,2,3, ...,n$

 

  위 식을 통해 각각의 자산에 대한 투자 비중(weight, $w_i$)를 구할 수 있다.

  여기서 식을 자세히 살펴보면, Black-Litterman 모델은 각 자산의 시가총액을 변수로 입력해 자산별 적정 수익률을 산정하는 방식이라는 것을 알 수 있다. 이 부분은 역최적화(reverse optimization)으로 불리는데, Black-Litterman 모델의 가장 큰 특징이다.

 

Black-Litterman Model의 의의

  Black-Litterman은 포트폴리오 구성을 위해 목표지수를 이용해 위험 회피 계수를 산정하고, 다시 균형기대수익률을 계산한다. 이러한 시장중립적 수익률과 자산배분이라는 기준선에 투자자의 주관적 견해를 결합해 최종적으로 나오게 되는 투자배분 포트폴리오는 기존 MVO모델과는 달리 각 자산군에 자산이 균형있게 배분되는(코너해 문제 해결) 포트폴리오가 된다.

 

 

Black-Litterman Model의 한계점

  Black-Litterman은 처음 골드만삭스에서 개발했을 때부터 미국 시장을 대상으로 개발한 자산배분모형이다. 이에 따라 해외(이 경우 한국 국내를 뜻함) 혹은 글로벌 시장의 자산배분모형으로 사용하기에 부족함이 있을 수도 있다.

 

  국내 시장에서의 부적합한 사용의 예시로, 2015년 국민연금이 기존 MVO 모형의 한계점을 극복하기 위해 Black-Litterman 모델을 적용하고자 연구자료(한국 보건사회연구원 국민연금 기금관리 포럼 운영- 정책자료 2015-03)를 살펴보자. 해당 연구자료의 결과에선 중간 결과로 해외 주식을 평소보다 더 높은 비중으로 추천해 준 것을 확인할 수 있다. 이는 선진국(미국)과 신흥국(이 경우 국내 시장) 시장의 시가총액 차이가 지역적 차이 때문에 생긴다는 점을 고려하지 않고, 단순히 두 시장의 자산별 시가총액의 차이가 많이 난다고 계산하였기 때문에 해외 주식으로 지나치게 편중된 최적 포트폴리오 결과가 도출된 것이다. 연구자료에선 이 문제를 해결하기 위해 인위적으로 한국 주식수익률 전망을 10%로 높이고, 해외주식수익률을 11%로 조정해 계산하여 국민연금의 한국주식시장에 대한 자산배분이 증가하도록 수정하였다.

  국민연금의 입장에선 환헷징 비용 부담 등 해외 주식의 비중을 일정 수준 이상으로 높이기 힘들다는 제약 조건들이 존재하는데, 이처럼 Black-Litterman Model의 결과를 그대로 쓰는 것이 아니라 국민연금의 현실적인 투자 여건을 고려해 데이터에 약간의 수정을 넣을 필요가 있다. 이처럼 투자자의 입장을 고려한 정성적인 포트폴리오 수정이 필요하다는 점에서 Black-Litterman의 국내 시장 적용엔 몇몇 한계점이 보인다.