점프 확산 모델(Jump diffusion model)

점프 확산 과정(Jump Diffusion Model)

 

  블랙-숄즈에 의해 제안된 블랙-숄즈 모형은 자산의 움직임을 설명하는 모형으로 많이 활용되어왔다. 하지만, 이 모형이 실제 자산의 움직임을 잘 반영하지 못한다는 문제가 제기되어 이러한 문제점을 해결하기 위해 많은 새로운 모델들이 개발되어왔다.

  그 중 블랙-숄즈 모형이 자산가격이 급격히 변화하는 현상을 설명하지 못하는 문제점을 보완하기 위해 개발한 모형이 점프 확산 모델(Jump Diffusion Model)이다.

  이 점프 확산 모델을 통해 블랙-숄즈 모형의 단점을 극복해 옵션 가격 예측에 사용할 수 있다.

 

 

 

  점프 확산 모델은 자산 가격의 움직임을 연속적 브라운 운동(Brownian motion, diffusion component)에 불연속적 점프 과정(jump component)이 결합된 형태로 설명하는 확률 과정(Stochastic process)이다.

  점프 과정은 포아송 과정으로 구해진 lognormal jumps로 이루어져 있으며, 이를 활용해 주식 시장에 새로운 정보가 유입되어 급격히 주가가 변하는 모습을 모델링하였다. 이러한 주가의 급격한 변화는 기존 블랙-숄즈 모형에서는 설명할 수 없었던 부분이었다.

 

 

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  $S_t$를 시점 $t$의 주가라고 하고 $\sigma$를 diffusion component의 변동성이라고 하면

점프 확산 모델은 아래와 같은 수식을 따른다.

 

$\frac{dS_t}{S_t} = (r - \lambda \bar k)dt + \sigma dW_t + kdq_t$

 

  점프 이벤트는 포아송 과정 $q_t, intensity = \lambda$를 따르며, $k$는 랜덤 점프의 강도를 나타낸다.

만약 $\lambda = 0$으로 만들어 점프 이벤트가 없도록 바뀐다면, 블랙 숄즈 모형과 동일해진다.